推移確率の変換(pをp'から計算)

$P'_S$

$P'_S$ → $P_S$ の変換

$P_S$

確率行列度をチェック check( $P_S$ )
反復
- $P_S$ から $P_G$ を構成
- check( $P_G$ )

$P_G$

checkの結果により、必要なら確率行列に丸める。
$u$ の計算

$b \cap b' = \phi$ for $b, b' \in \mathcal{G}_i$
$G_i = \bigcup_{b \in \mathcal{G}_i} b$

$G_i^{(j)} = \bigcup_{b \in \mathcal{G}_i^{(j)}} b = \bigcup_{b \in \mathcal{G}_i^{I(j)}} b + \bigcup_{b \in \mathcal{G}_i^{B(j)}} b$

In : 厳密に Gj.contain(f(b))
$\mathcal{G}_i^{I(j)}= \{b \in \mathcal{G}_i | f_I(b) \subset G_j\}$

Bounds : だいたい境界, Gj.intersect(f(b)) and !Gj.contain(f(b)) の近似.
$\mathcal{G}_i^{B(j)}= \mathcal{G}_i - \mathcal{G}_i^{I(j)} - \mathcal{G}_i^{O(j)}$

Out : 厳密に !Gj.intersect(f(b))
$\mathcal{G}_i^{O(j)}= \{b \in \mathcal{G}_i | f_I(b) \cap G_j = \phi \}$

Supposition (*).

$B, C \subset \mathbb{R}^d$
$p(B, C) \approx p'(B, C)$

結論

はみだし( $p = 0, 1$ 以外, つまり $b \in \mathcal{G}_i^{B(j)}$ )の部分に(*)を仮定すると,
$p(G_i, G_j) \approx \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i} \frac{m(b)}{m(G_i)} p'(b, G_j)$ .
但し，(*)が近似でなく厳密に成立する場合は等号が成立する．

$p(G_i, G_j)$

$= \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i} \frac{m(b)}{m(G_i)} p(b, G_j)$ (Remark より)

$= \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i^{I(j)}} \frac{m(b)}{m(G_i)} + \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i^{B(j)}} \frac{m(b)}{m(G_i)} p(b, G_j)$ ( $p(b, G_j)=1$ for $b \in \mathcal{G}_i^{I(j)}$ )

$= \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i^{I(j)}} \frac{m(b)}{m(G_i)}p'(b, G_j) + \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i^{B(j)}} \frac{m(b)}{m(G_i)} p(b, G_j)$ (Lemma より)

$\approx \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i^{I(j)}} \frac{m(b)}{m(G_i)}p'(b, G_j) + \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i^{B(j)}} \frac{m(b)}{m(G_i)} p'(b, G_j)$ *1}{m(G_i)} = \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i} \frac{m(b \cap f^{-1}(G_j))}{m(G_i)} = \bigsum_{b \in \mathcal{G}_i} \frac{m(b)}{m(G_i)} p(b, G_j)]

Lemma.

(1) $p'_I(S_i, S_j) = 1 \Rightarrow p'(S_i, S_j) = 1 \Leftrightarrow p(S_i, S_j) = 1$
(2) $p'_I(S_i, S_j) = 0 \Rightarrow p'(S_i, S_j) = 0 \Leftrightarrow p(S_i, S_j) = 0$

(1)
$p'_I(S_i, S_j) = 1$
$\Leftrightarrow \frac{m(f_I(S_i) \cap S_j)}{m(f_I(S_i))} = 1$
$\Leftrightarrow f_I(S_i) \subset S_j$
$\Rightarrow f(S_i) \subset S_j$ $(\Leftrightarrow p'(S_i, S_j) = 1)$
$\Leftrightarrow S_i \subset f^{-1}(S_j)$ $(\Leftrightarrow p(S_i, S_j) = 1)$

(2)
$p'_I(S_i, S_j) = 0$
$\Leftrightarrow \mathrm{Int}(f_I(S_i) \cap S_j) = \phi$
$\Rightarrow \mathrm{Int}(f(S_i) \cap S_j) = \phi$ $(\Leftrightarrow p'(S_i, S_j) = 0)$
$\Leftrightarrow \mathrm{Int}(S_i \cap f^{-1}(S_j)) = \phi$ $(\Leftrightarrow p(S_i, S_j) = 0)$