AUTO : HomCont

auto

h.xxx



1 2 1 1 1 NUNSTAB（α極限点の不安定固有値の数）, NSTAB（ω極限点の安定固有値の数）, IEQUIB（ホモかへテロか，不動点は与えるのか）, ITWIST（向きの計算）, ISTART

0         NREV, (/, I, IREV(I)), I=1,...,NREV)

1         NFIXED, (/, I, IFIXED(I)), I=1,...,NFIXED) 値を保つ判定関数の数

  13 値を保たせる関数の indices

1         NPSI, (/, I, IPSI(I)), I=1,...,NPSI)　codim 2 判定関数の数

  9 10 13  使用する codim2 判定関数の indices



特殊パラメータ

  • par[9] ： ITWIST=1 の時に使用される dummy parameter．計算がうまくいけば，0 になってるはず．（値が大きくなっていれば，計算結果の信頼度は低い．）
  • par[10] ： 周期．
  • par[11],...,par[19] ： 平衡点を与えるのに使用．

ISTART = 3 の時は， homotopy 法の artificial parameters に以下を使う．
\xi_1^2 + \xi_2^2 + \dots + \xi_{\mathrm{NUNSTAB}}^2 = \epsilon_0^2
IP = 11 + IEQUIB*NDIM
par[IP] : \epsilon_0
par[IP + i] : \xi_i, i = 1,2,...,NUNSTAB（不安定固有値の数）
par[IP+NUNSTAB + i] : \omega_i, i = 1,2,...,NUNSTAB
test functions と干渉しないように， IP+2*NUNSTAB < 20 を厳守のこと．

  • par[20],...,par[35] ： test functions の値を納めるのに使用．par[19 + i] が test function 'i' に対応．


注意点
2 パラメータの分岐図を得ることを目的とする．
'bifurcation'の図は，デフォルトでは，
X [0] : 主パラメータ
Y [1] : L-2 norm
となっている．このため，最初にでてくる bifurcation の図は，目的のものではない．
'bifurcation' の図において，X, Y の [] 内の数値は，b.* の

0　PT　TY　TAB　PAR(0)　L2-NORM　PAR(1)　PAR(21)　　PAR(23)　PAR(24)　　PAR(28)　PAR(29)
1　1　　0　0　-7.2E-01　1.2E-01　4.5E-01　-2.8E+00　2.8E-01　-1.7E-05　-2.8E-01　5.7E-01

の PAR(0) から数え始めた数値（0:PAR(0)，1:L2-NORM，2:PAR(1)，...）を意味しているため，
Y [2] としてやる ことで，縦軸が PAR(1) となって，PAR(0)-PAR(1) の 2パラメータ分岐図が得られる．

ただし， 'solution' の図では，X，Y の[] 内の数値は状態空間の軸の index を表すので，次のように指定する．
x,y 平面での軌道を描きたければ，X[0]，Y[1]，
x,z 平面での軌道を描きたければ，X[0]，Y[2]




test functions [Champneys & Kuznetsov 1994]，[Champneys et al. 1996]
PAR[19+i] が使われる．自由パラメータとしてICPに 19+i を指定する必要あり．

  • i = 1 [20] : Resonant eigenvalues; mu_1 = lambda_1
  • i = 2 [21] : Double real leading stable eigenvalues
  • i = 3 [22] : Double real leading unstable eigenvalues
  • i = 4 [23] : Neutral saddle, saddle-focus or bi-focus (includes i = 1)
  • i = 5 [24] : Neutrally-divergent saddle-focus (stable eigenvalues complex)
  • i = 6 [25] : Neutrally-divergent saddle-focus (unstable eigenvalues complex)
  • i = 7 [26] : Three leading eigenvalues (stable)
  • i = 8 [27] : Three leading eigenvalues (unstable)
  • i = 9 [28] : Local bifurcation (zero eigenvalue or Hopf) : stable
  • i = 10 [29] : Local bifurcation (zero eigenvalue or Hopf) : unstable
  • i = 11 [30] : Orbit flip with respect to leading stable direction, (e.g.,1D unstable manifold).
  • i = 12 [31] : Orbit flip with respect to leading unstable direction, (e.g., 1D stable manifold).
  • i = 13 [32] : Inclination flip w.r.t. stable manifold (e.g.,1D unstable manifold).
  • i = 14 [33] : Inclination flip w.r.t. unstable manifold (e.g.,1D stable manifold).
  • i = 15 [34] : Non-central homoclinic to saddle-node (in stable manifold).
  • i = 16 [35] : Non-central homoclinic to saddle-node (in unstable manifold).



NUNSTAB, NSTAB, IEQUIB, ITWIST, ISTART


NUNSTAB : α(逆時間)極限点 (left-hand ) の不安定固有値の数
NSTAB : ω(順時間)極限点 (righthand ) の安定固有値の数


IEQUIB

  • IEQUIB=0 : 双曲型平衡点のホモクリニック軌道を計算；

pvls 内，par[11+I] I=0,...,NDIM-1 で平衡点を与える．

  • IEQUIB=1 : 双曲型平衡点のホモクリニック軌道を計算；平衡点は計算させる．

stpnt 内で．par[11+I] I=0,...,NDIM-1 で平衡点計算のための初期値を与える．

  • IEQUIB=2 : サドルノードのホモクリニック軌道を計算；平衡点は計算させる．

stpnt 内で par[11+I], I=0,...,NDIM-1 で平衡点計算のための初期値を与える．

  • IEQUIB=-1 : 双曲型平衡点のへテロクリニック軌道を計算；α，ω極限点は与える．

pvls 内で，α極限点を par[11+I] I=0,...,NDIM-1 で与え，ω極限点を par[11+NDIM+I] I=0,...,NDIM-1 で与える．

  • IEQUIB=-2 : 双曲型平衡点のへテロクリニック軌道を計算；α，ω極限点は計算させる．

stpnt 内で，α極限点計算の初期値を，par[11+I] I=0,...,NDIM-1 で与え，ω極限点計算の初期値をに対しては，par[11+NDIM+I] I=0,...,NDIM-1 で与える．


ITWIST
Inclination flip を検出するのでなければ，0でOK？

  • ITWIST=0 : ホモクリニック軌道の向きは計算されない．
  • ITWIST=1 : ホモクリニック軌道の向きを計算する．これをするために，...


ISTART

  • ISTART=1 : 廃れた
  • ISTART=2 : IRS=0（問題を初めて解く）ならば，homoclinic 軌道の解析解を陽に stpnt 内で与える必要あり． ex.san.c
  • ISTART=3 : ホモトピーなアプローチが初期化に用いられる．IEQUIB=2 では無効．
  • ISTART=4
  • ISTART=-N



NREV, IREV

  • NREV=1 : 系は次の変換によって可逆であるとみなされる．

変換： t → -t, U(i) → -U(i) for all i with IREV(i) > 0 .
この場合，解がその変換に対して対称となる，right-hand 境界条件に対し，
ホモクリニック解の半分だけが解かれる．
この場合，自由パラメータが1つ減る．

  • IREV=0 : その他の場合．



NFIXED, IFIXED

一定に保たれるようなテスト関数の数とそのラベル（インデックス）．
例えば，NFIXED=1 では，テスト関数 PSI(IFIXED(1))=0 で与えられる特異性の，１つ余分なパラメータにおける軌跡を計算できる．（？）




NPSI, IPSI

ホモクリニック分岐を検出するために有効なテスト関数の数とラベル（インデックス）．
テスト関数が有効であれば，

  • 関連するパラメータ（IPSI(I)+19）が continuation のパラメータリスト NICP,(ICP(I), I=1,...,NICP) に加えられている必要がある．
  • また，このパラメータの 0 が c.xxx 内で，ユーザー定義の出力点のリスト NUZR, (/, I, par[I]), I=1,...,NUZR に加えられている必要がある．