■ - CLOTHO

Frobenius-Perron operator

on measures $P' \mu(A) = \mu(f^{-1}(A))$

on densities $\int_A P h(x) m(dx) = \int_{f^{-1}(A)} h(x) m(dx)$

if $f$ is nonsingular w.r.t. $\mu$ and $\mu$ is a.c.w.r.t. $m$ with density $h$ ,
$\mu(f^{-1}(A)) = P' \int_A h(x) m(dx) = \int_A P h(x) m(dx)$

absolutely continuous (measure)

$m, \mu$ を $(X, \, \mathcal{B})$ 上の $\sigma$ 有限な測度とする．
$m(A) = 0$ から　 $\mu(A) = 0$ が出る時，

$\mu$ は $m$ に関して絶対連続といい， $\mu \prec m$ と表す．

この必要十分条件は， $\mu$ が積分系 $\mu(A) = \int_A h(x) m(dx)$ ( $h$ は非負 $\mathcal{B}$ 可測関数)で表されることである（Radon-Nikodymの定理）．
この $h$ は $m$ 測度0を除いて一意定まり， $\mu$ の $m$ に関するRadon-Nikodym導関数といい， $h(x) = \frac{\mu(dx)}{m(dx)}$ で表す．

反対の概念は，特異 (singular)

singular (measure)

$\exist A \in \mathcal{B}$ , $\mu(A^{c}) = m(A) = 0$
となる時， $\mu$ は $m$ に関して特異であると言う．

nonsingular (transformation)

Hunt_OnTheApproximation
The map $f \, : \, X \rightarrow X$ is sait to be nonsingular with respect to a measure $m$
if $m(A) = 0$ ならば $m(f^{-1}(A)) = 0$ が必ず成立

ergodic

$f$ is ergodic with respect to a measure $m$

if $m( (f^{-1}(A) \cup A) \setminus (f^{-1}(A) \cap A) ) = 0$ ならば $m(A) = 0$ もしくは　 $m(X \setminus A)$ = 0 が必ず成立

Mane_ErgodicTheoryAndDifferentiableDynamics
given a measure-preserving map of a space $(X, \mathcal{A}, m)$ .
Maps which satisfy the following condition are called ergodic.
There exist no set $A \in \mathcal{A}$ such that $0 &lt m(A) &lt 1$ and $f^{-1}(A) = A$ .

ロビンソン_力学系
写像 $f \, : \, X \rightarrow X$ がそれによって不変な測度 $m$ に関してエルゴード的であるとは，
$m(A) &gt 0$ なる $f$ の任意の不変可測集合 $A$ について,
$m(X \setminus A) = 0$ となることをいう．
つまり， $X$ 上のergodic mapに対しては,
すべての不変可測集合は $X$ において測度0かまたは全測度をもつかのどちらかである．

reducible

Hunt_OnTheApproximation
A map $f\, : \, X \rightarrow X$ is reducible if there exists a nontrivial negatively invariant subset of $X$ .
By nontrivial set we mean nonempty subset $A \subset X$ that is $\mu$ -measurable, where $\mu$ is a probability measure, with $0 &lt \mu(A) &lt 1$ .
If no such set exists, $f$ is said to be irreducible.

irreducible と ergodicとの差は,

$f^{-1}(A) \subset A$ か, $f^{-1}(A) = A$ かどうか.

If $f$ is irreducible, then it is also ergodic.

quasicompact operator

monotone operator

ヒルベルト空間　 $H$
非線形写像　 $f \, : \, H \rightarrow H$ が単調(monotone) あるいは増大(accretive)とは，
すべての　 $x, y \in H$ に対して，
不等式　 $Re(f(x) - f(y), x - y) \geq 0$ が成り立つことである．